互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．

　４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならない．

　　ａ＝７ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋２　→　ａ^2＝４　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋３　→　ａ^2＝２　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋４　→　ａ^2＝２　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋５　→　ａ^2＝４　　（ｍｏｄ　７）

　　ａ＝７ｋ＋６　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　７）

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［１］×［１］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝１＋１・１＋１＝３（ＮＧ）

［１］×［６］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝１＋１・１＋１＝３（ＮＧ）

これらはｐ^2＋ｑ^2＝２　　（ｍｏｄ７）

［２］×［２］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝２＋４・４＋２＝２０（ＮＧ）

［２］×［５］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝２＋４・４＋２＝２０（ＮＧ）

これらはｐ^2＋ｑ^2＝１　　（ｍｏｄ７）

［３］×［３］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝４＋２・２＋４＝１２（ＮＧ）

［３］×［４］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝４＋２・２＋４＝１２（ＮＧ）

これらはｐ^2＋ｑ^2＝４　　（ｍｏｄ７）

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　これらは

　　ｐ^2＝ｑ^2　　（ｍｏｄ７）

　　ｐ^2−ｑ^2＝０　　（ｍｏｄ７）

になっていて，これはａ，ｂが７の倍数ではないとする仮定に反する．

　ピタゴラス三角形の直角を挟む辺をａ，ｂとする．このとき，

　　ａ，ｂ，ａ−ｂ，ａ＋ｂのどれかは７で割り切れる→（ＱＥＤ）

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