【３】チェビシェフ多項式の性質

［１］最良近似

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐ1ｘ^n-1＋・・・＋ｐn

　　Ｌ＝ｍａｘ｜ｆ（ｘ）｜

とおく．そのとき，区間［−１，１］上でＬを最小にするのは

　　ｆ（ｘ）＝Ｔn(x)／２^n-1

ただひとつで，Ｌ＝１／２^n-1が成立する．

［２］漸化式

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）−Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）−Ｕn-2（ｘ）

［３］直交性

　　∫(-1,1)Ｔm(x)Ｔn(x)／（１−ｘ^2）^1/2ｄｘ

　＝０　　　　　（ｍ≠ｎ）

　＝π　　　　　（ｍ＝ｎ＝０）

　＝π／２　　　（ｍ＝ｎ≠０）

［４］母関数

　　Ｔ0(x)＋２ΣＴn(x)ｔ^n＝（−ｔ^2＋１）／（ｔ^2−２ｘｔ＋１）

［５］合成

　　Ｔm(Ｔn(x))＝Ｔmn(x)

［６］多項式近似定理（ワイエルシュトラス）

　閉区間［ａ，ｂ］で連続な関数をｆ（ｘ）とする．このとき

　　｜ｆ（ｘ）−ｇ（ｘ）｜＜ε

を満たす多項式ｇ（ｘ）が常に存在し，それはただひとつである．

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