正５角形の作図ではｙ＝ｘ＋１／ｘとおいて作図可能であることをうまく証明できたが，正１７角形ではこの変数変換では失敗する．

　　ｚ＝ｘ^4＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^4

　　ｗ＝ｘ^8＋ｘ^4＋ｘ^2＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^2＋１／ｘ^4＋１／ｘ^8

と変数変換すると（もう１ステップ要するが）ｎ＝５の場合と全く同様に証明することができる．

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ｔ＝ｘ＋１／ｘでうまくゆくのは結局ｃｏｓ（π／ｎ），ｓｉｎ（π／ｎ）が二重根号（（１０＋２√５）^1/2など）で表されることに対応します．以下のようにいうとギリシャ数学史の専門家から叱られますが，ユークリッド原論第１０巻は今日の我々の眼からみると二重根号量（（ａ＋√ｂ）^1/2，（ａ−√ｂ）^1/2）の扱いであり，それが（特に（１０±２√５）^1/2が）第１３巻で正十二面体，正二十面体の構成にうまく活用されています．

　正１７角形では３重根号数と４重根号数が必要になります．ある歴史家の話では，これは古代ギリシャの数学者の手に負えなかった話題（？）だろうということです．正５角形が（定規とコンパスで）作図できる，そしてその作図に黄金比と関連した二重根号で表される量が本質的に関わっているという事実の発見が古代ギリシャ数学のひとつの頂上であったように思います．

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（ａ＋√ｂ）^1/2＋（ａ−√ｂ）^1/2＝√ｃとなる(a,b,c)を求めてみたい。

2a+2(a^2-b)^1/2=c

2(a^2-b)^1/2=c-2a

4(a^2-b)=c^2-4ca+4a^2

-4b=c(c-4a)

ｃを4の倍数となる平方数、例えば、c=100とすると

-b=25(100-4a)

a=30,b=500,c=100

（30＋√500）^1/2＋（30−√500）^1/2＝√100=10は整数である

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（ａ＋√ｂ）^1/2＋（ａ−√ｂ）^1/2＝（ｃ＋√ｂ）^1/2となる(a,b,c)を求めてみたい。

2a+2(a^2-b)^1/2=c+(b)^1/2

2(a^2-b)^1/2+(b)^1/2=c-2a

4(a^2-b)+b+4(a^2b-b^2)^1/2=c^2-4ca+4a^2

-3b+4(a^2b-b^2)^1/2=(c^2-4ca)

4(a^2b-b^2)^1/2=(c^2-4ca)+3b

16b(a^2-b)={(c^2-4ca)+3b}^2

bを16の倍数となる非平方数、例えば、b=480とすると

16^2・300(a^2-480)={(c^2-4ca)+3・480}^2

a,cがうまく求めるとは限らない

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