フェルマーはｙ^3＝ｘ^2＋２のの正整数による唯一の解は（ｘ，ｙ）＝（５，３）であると主張した．

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ｘ^2＋２＝（ｘ＋ｉ√２）（ｘ−ｉ√２）

（ｘ＋ｉ√２）＝（ａ＋ｂｉ√２）^3

＝ａ^3＋３ａ^2ｂｉ√２−６ａｂ^2−２ｂ^3ｉ√２

＝（ａ^3−６ａｂ^2）＋（３ａ^2ｂ−２ｂ^3）ｉ√２

＝ａ（ａ^2−６ｂ^2）＋ｂ（３ａ^2−２ｂ^2）ｉ√２

（ｘ＋ｉ√２）→ａ（ａ^2−６ｂ^2）＝ｘ，ｂ（３ａ^2−２ｂ^2）＝１

ｂ＝±１とすると，（３ａ^2−２）＝±１→ｂ＝１のときａ＝±１

（１，１）→ａ（ａ^2−６ｂ^2）＝−５＝ｘ　　　（ＮＧ）

（−１，１）→−ａ（ａ^2−６ｂ^2）＝５＝ｘ　　（ＯＫ）

さらにｙ＝３．よって，フェルマーの主張が示された．

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