３次方程式ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝０の解

　　ｘ＝（−ｂ／２＋√（ｂ^2／４＋ａ^3／２７））^1/3＋（−ｂ／２−√（ｂ^2／４＋ａ^3／２７））^1/3

を書きだすのが「カルダノの公式」である．

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【１】ｘ＝（√（２８／２７）＋１）^1/3−（√（２８／２７）−１）^1/3は整数である

　ｘ^3を計算するとｘ^3＝２−ｘが成り立つことより，ｘ＝１はひとつの実数解となる．（ｘ−１）（ｘ^2＋ｘ＋２）＝０において，ｘ^2＋ｘ＋２＝０は２つの虚数解をもつので，ｘ＝１でなければならない．

　カルダノの公式においてａ＝１，ｂ＝−２の場合に相当している．

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【２】ｘ＝（√（６５／６４）＋１）^1/3−（√（６５／６４）−１）^1/3は整数でない

　ｘ^3を計算すると４ｘ^3＝８−３ｘが成り立つことより，ｘ（４ｘ^2＋３）＝８．８≧４ｘ^2＋３≧３より，０＜ｘ＜３／８．ここでｘが整数なら，ｘ＝１または２となるが，いずれも４ｘ^3＋３ｘ−８＝０を満たさない．

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