ｘ＝（２＋√（−１２１））^1/3＋（２−√（−１２１）^1/3は整数である

を補足したい．

　これは，ｘ^3−１５ｘ−４＝０に，ａ＝−１５，ｂ＝−４としてカルダノの公式をあてはめてみた結果である．

　　２＋√（−１２１）＝（２＋√（−１））^3

　　２−√（−１２１）＝（２−√（−１））^3

　　（２＋√（−１２１））^1/3＋（２−√（−１２１）^1/3＝４

と書き換えることができる．

　　ｘ^3−１５ｘ−４＝（ｘ−４）（ｘ^2＋４ｘ＋１）＝０

において，ｘ^2＋４ｘ＋１＝０は２つの虚数解をもつので，ｘ＝４でなければならない．

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【１】カルダノの問題

　カルダノはほぼすべての３次方程式の解を与える公式を知っていたが，その公式に拠ると

　　ｘ^3＝１５ｘ＋４

の解は

　　ｘ＝（２＋√（−１２１））^1/3＋（２−√（−１２１）^1/3

になる．

　彼はｘ^3＝１５ｘ＋４の解がｘ＝４であることも知っていたが，

　　ｘ＝（２＋√（−１２１））^1/3＋（２−√（−１２１）^1/3

　　　＝（２＋１１ｉ）^1/3＋（２−１１ｉ）^1/3＝４

であることを見抜いたのは，ボンベリである．

　ボンベリは

　　（２＋１１ｉ）^1/3＝ａ＋ｂｉ

　　（２−１１ｉ）^1/3＝ａ−ｂｉ

の形の複素数になるであろうと推測した．その和が４ならばａ＝２であるから，

　　（２＋１１ｉ）^1/3＝２＋ｂｉ

両辺を３乗するとｂ＝１．

　したがって，

　　ｘ＝（２＋１１ｉ）^1/3＋（２−１１ｉ）^1/3

　　　＝（２＋ｉ）＋（２−ｉ）＝４

が成立する．

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