０＜（ｅ^π−π^e）＜１

を示すことができるだろうか？

　　ｘ^y−ｙ^x＝１　　（０＜ｙ＜ｘ）

の整数解が（ｘ，ｙ）＝（３，２）だけであるが，今回のコラムでは

　　ｘ^y−ｙ^x＝０　　（０＜ｘ＜ｙ）

の有理数解を求めてみよう．

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　ｘ^y＝ｙ^xの両辺を１／ｘ乗して，さらにｘで割ると

　　ｘ^y/x-1＝ｙ／ｘ

　ここで，ｙ／ｘ＝ｔ（＞１なる有理数）とおくと

　　ｘ＝ｔ^1/(t-1)

が有理数となるｔをすべて決定する問題に帰着される．そこで，互いに素な正の整数ｐ，ｑを用いて，

　　ｔ＝ｐ／ｑ，ｐ＞ｑ

　　（ｐ／ｑ）^q/(p-q)

は有理数となる正の整数ｐ，ｑをすねて決定する問題になる．

　　ｒ＝ｐ−ｑ（≧１）

とおけば，ｒ＝ｐ−ｑとｑも互いに素であるから，

　　ｐ＝ｑ＋ｒ＝ｍ^r，ｑ＝ｎ^r，ｍ＞ｎ≧１，ｍ≧２

でなければならない．

　　ｒ＝ｍ^r−ｎ^r＝（ｍ−ｎ）（ｍ^r-1＋・・・＋ｎ^r-1）

ここで，ｒ≧２と仮定するとｍ^r-1＋・・・＋ｎ^r-1≧ｒ＋１となり，矛盾．したがって，

　　ｒ＝１，ｐ＝ｑ＋１，ｔ＝ｐ／ｑ＝１＋１／ｑ

より，

　　ｘ＝（１＋１／ｑ）^q，ｙ＝（１＋１／ｑ）^q+1

が得られる．

　ここで，ｘはｑについて単調増加，ｙは単調減少であるから，

　　２≦ｘ＜ｅ＜ｙ≦４

　（ｘ，ｙ）はともに整数となるのは（ｘ，ｙ）＝（２，４）のみであることがわかる．

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［まとめ］

［１］（ｘ，ｙ）＝（ｅ，ｅ），したがって，ｅ^e＝１５．１５４２・・・の周囲にｘ^y−ｙ^x＝０となる有理数解が集積する

［２］ｘ＝２〜３，ｙ＝３〜４にはｙ^x−ｘ^y＝１となる有理数解が分布する

と推定される．

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