一般的な４次方程式のガロア群は、解の4！＝24通りの置換からなっている。この群にはどんどん小さくなっていく一連の正規部分群があって、その大きさは

24，12，4，2，1

である。

24/12＝2（素数）

12/4＝2（素数）

４/２＝２（素数）

２/１=２（素数）

となる。

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五次方程式には５つの解があって、置換は５！=１２０通り

その一連の正規部分群は

120，60，1

である。

120/60（素数）であるが

60/1＝60（非素数）

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５次方程式を根によって解くことはできないことを示すのはがロアにとってあまりに簡単で、

５次方程式が解けないことの証明を実際に書き下してはいない。わざわざ言及するまでもなかったのである。

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　Ｓ5の位数は５！＝１２０，群表は１２０×１２０，Ａ5の位数は５！／２＝６０，群表は６０×６０となります．どの正多面体もＳ5の回転対称性をもってはいないのですが，Ａ5は正１２面体あるいは正２０面体の回転対称性を表現しています．５次交代群Ａ5の基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^5＝（ａｂ）^2＝１

となります．

　Ａ5も非可換で，恒等置換以外には不変部分群をもっていません．

　　Ｓ5＞Ａ5＞｛Ｉd｝

不変部分群をもたない群は単純群と呼ばれるのですが，Ａ5は最小の非可換な単純群です（ガロアの定理）．ベキ根による可解性を決定づけるものは可換性なのであって，任意の可換群は可解群です（逆は成立しない）．

　このことから一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことがわかるのです．なお，Ｓ5の回転対称性をもつ正多面体が存在しないことと５次方程式の非可解性の間には因果関係は存在しないので誤解なさらないように！

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