一般的な４次方程式のガロア群は、解の4！＝24通りの置換からなっている。この群にはどんどん小さくなっていく一連の正規部分群があって、その大きさは

24，12，4，2，1

である。

24/12＝2（素数）

12/4＝2（素数）

４/２＝２（素数）

２/１=２（素数）

となる。

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五次方程式には５つの解があって、置換は５！=１２０通り

その一連の正規部分群は

120，60，1

である。

120/60（素数）であるが

60/1＝60（非素数）

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５次方程式を根によって解くことはできないことを示すのはがロアにとってあまりに簡単で、

５次方程式が解けないことの証明を実際に書き下してはいない。わざわざ言及するまでもなかったのである。

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　４文字１，２，３，４の置換全体のなす群が４次対称群Ｓ4で，その位数は４！＝２４です．Ｓ4は２つの生成元ａ，ｂによって生成され，基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^4＝（ａｂ）^2＝１

なります．

　Ｓ4の場合，正方形ではなく正四面体を幾何学的にイメージすることになるのですが，互換は正四面体の回転として捉えることはできず，鏡映変換を必要とします．

　Ｓ3同様，Ｓ4は回転と互換の両方を含んでいるのですが，互換を含めて空間的な回転だけでＳ4を表現するには，立方体の４本の対角線あるいは正八面体の向かい合う面の中心を結ぶ４本の線分を使うことになります．

　Ｓ4は立方体あるいは正八面体の回転対称性であり，Ｓ4の偶置換からなる部分群Ａ4は正四面体の回転対称性を表すのですが，４次交代群Ａ4のの基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^3＝（ａｂ）^2＝１

となります．しかし，Ｓ4の位数は４！＝２４，群表は２４×２４，Ａ4の位数は４！／２＝１２，群表は１２×１２になるので，大きすぎてここでは紹介できません．

　Ｓ4もＡ4も非可換なのですが，Ａ4のなかに可換な部分群Ｖ（位数４）が含まれています．Ｖは可換群ではあるが巡回群Ｃ4ではありません．実はＤ2＝Ｃ2×Ｃ2なのですが，これについては後述することにします．ともあれ，可解鎖

　　Ｓ4＞Ａ4＞｛Ｉd，Ｖ｝＞｛Ｉd｝

よりＳ4は可解群であることがわかります．このように可換な不変部分群を見つけることで，４次方程式を３次方程式に還元することが可能になるのです．

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