一般的な４次方程式のガロア群は、解の4！＝24通りの置換からなっている。この群にはどんどん小さくなっていく一連の正規部分群があって、その大きさは

24，12，4，2，1

である。

24/12＝2（素数）

12/4＝2（素数）

４/２＝２（素数）

２/１=２（素数）

となる。

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五次方程式には５つの解があって、置換は５！=１２０通り

その一連の正規部分群は

120，60，1

である。

120/60（素数）であるが

60/1＝60（非素数）

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５次方程式を根によって解くことはできないことを示すのはがロアにとってあまりに簡単で、

５次方程式が解けないことの証明を実際に書き下してはいない。わざわざ言及するまでもなかったのである。

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　あらすじはこのとおりですが，この点のガロアの洞察はガロアがアーベルを超えたところといえるわけです．少し詳細に見ていくことにしましょう．

　３文字１，２，３の置換全体のなす群が３次対称群Ｓ3で，その位数は３！＝６です．幾何学的にイメージするために１つの正三角形を考えてみましょう．三角形の中心まわりの角度１２０°の右回り回転をａとすると，ａは３回やると元に戻るので

　　ａ^3＝１

また，頂点を通る中心線に関して裏返す作用をｂとすると

　　ｂ^2＝１

２種類の作用の相互関係は

　　ａｂ＝ｂａ^2

と書けます．

　Ｓ3は２元｛ａ，ｂ｝によって生成される

　　｛１，ａ，ａ^2，ｂ，ｂａ，ｂａ^2｝

となるのですが，これは位数６の正２面体群，すなわち，位数３の巡回群｛１，ａ，ａ^2｝とその裏返し｛ｂ，ｂａ，ｂａ^2｝とからなる（回転∪鏡映）群と同一です．

　６×６の群表（ケイリー表）を書けば，どの元も各行各列にちょうど１回ずつ登場し，魔方陣のようであることが理解されるでしょう．

　　　　　１　　　　ａ　　　　ａ^2　　　ｂ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2

１　　　　１　　　　ａ　　　　ａ^2　　　ｂ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2

ａ　　　　ａ　　　　ａ^2　　　１　　　　ｂａ^2　　ｂ　　　　ｂ

ａ^2　　　ａ^2　　　１　　　　ａ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2　　ｂ

ｂ　　　　ｂ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2　　１　　　　ａ　　　　ａ^2

ｂａ　　　ｂａ　　　ｂａ^2　　ｂ　　　　ａ^2　　　１　　　　ａ

ｂａ^2　　ｂａ^2　　ｂ　　　　ｂａ　　　ａ　　　　ａ^2　　　１

　「正２面体群」とは，正ｎ角形をそれ自身に移す回転全体のなす群であって，重心を通る垂直軸を中心とした回転と対称軸を中心としたπ回転から生成される位数２ｎの群と幾何学的に考えることができます．この正２面体という奇妙な名前は，２枚の正多角形を貼り合わせたものをつぶれた多面体と見なすことから由来しているのですが，２つの生成元ａ，ｂが

　　ａ^2＝ｂ^n＝（ａｂ）^2＝１

という関係を満たすことを確かめられたい．

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