長さ１の棒を回転させることができる図形としては

[1]直径１の円（面積π/4=0.78539）

[2]ルーローの三角形（面積(π-√3)/2=0.70477）

[3]高さ１の正三角形（面積1/√3=0.57735)

凸図形では正三角形が最小であることが証明されています。

五芒星の中でも棒を回転させることができます。その面積は・・・？

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1辺の長さ1の正奇数ｎ角形を考えます。中心角の1/2をθ=π/nとする

　　xsinθ=1/2

高さはx+xcosθ=(1+cosθ)/2sinθ

面積n/2・xcosθ

底辺の長さ1の二等辺三角形は底角2π/n

高さhはh=1/2・tan2π/n

面積はh/2=1/4・tan2π/n

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棒の長さ：(1+cosθ)/2sinθ+1/2・tan2π/n

面積の総計：n/4/tanθ+ｎ/4・tan2π/n

ｎ→5,7,9,11,13,・・・

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S/L^2を計算すると

n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう

n=7: 0.73414・・・五芒星より大きくなってしまう。

n=9: 0.761569

n=11: 0.771424

n=13: 0.776126

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n=5のとき、簡単な形にならないだろうか？

棒の長さ：(1+cosθ)/2sinθ+1/2・tan2π/n=1/(2tanπ/10)+(tan2π/5)/2

面積の総計：n/4/tanθ+ｎ/4・tan2π/n=5/4{1/tanπ/5+tan2π/5}

L=1/2{√(5+2√5)+√(5+2√5)}＝√(5+2√5)

S=5/4{√(5+2√5)/√5+√(5+2√5)}=5/4・√(5+2√5)・(1/√5+1）

S/L^2=5/4・(1/√5+1)/√(5+2√5)=5/4・2φ/√5・1/√(5+2√5)=φ√5/2・1/√(3+4φ)=1/2・(√5/φ)^1/2＝0.587785

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