長さ１の棒を回転させることができる図形としては

[1]直径１の円（面積π/4=0.78539）

[2]ルーローの三角形（面積(π-√3)/2=0.70477）

[3]高さ１の正三角形（面積1/√3=0.57735)

凸図形では正三角形が最小であることが証明されています。

五芒星の中でも棒を回転させることができます。その面積は・・・？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1辺の長さ1の正奇数ｎ角形を考えます。中心角の1/2をθ=π/nとする

　　xsinθ=1/2

高さはx+xcosθ=(1+cosθ)/2sinθ

面積n/2・xcosθ

底辺の長さ1の二等辺三角形は底角2π/n

高さhはh=1/2・tan2π/n

面積はh/2=1/4・tan2π/n

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

棒の長さ：(1+cosθ)/2sinθ+1/2・tan2π/n

面積の総計：n/4/tanθ+ｎ/4・tan2π/n

ｎ→5,7,9,11,13,・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

S/L^2を計算すると

n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう

n=7: 0.73414・・・五芒星より大きくなってしまう。

n=9: 0.761569

n=11: 0.771424

n=13: 0.776126

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝