レムスの不等式は，３次対称式

　　ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ｃ^2ａ＋ｃａ^2−６ａｂｃ≧０

である．対称式を

　　Σｘ，Σｘ^2，Σｘ^3，Σｘｙ，Σｘ^2ｙ，・・・

などで表すことにすると，レムスの不等式は

　　（Σｘ）（Σｘｙ）−９ｘｙｚ≧０

となる．

　ここでは，ｎ変数で３次以下の対称多項式Ｐn（ｘ，ｙ，ｚ）が非負となるための条件を考えてみる．

［１］Ｐ1（ｘ，ｙ，ｚ）＝λΣｘ　→　λ≧０

［２］Ｐ2（ｘ，ｙ，ｚ）＝λΣｘ^2＋μΣｘｙ　→　λ≧０，λ＋μ≧０

［３］Ｐ3（ｘ，ｙ，ｚ）＝λΣｘ^2＋μΣｘｙ＋３νｘｙｚ　→　λ≧０，λ＋μ≧０，λ＋２μ＋ν≧０

　ｎ≧４となると必要十分条件は複雑になるが，知られていることをまとめてみたい．

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［１］Ｐ4（ｘ，ｙ，ｚ）が４次斉次対称多項式のとき，

　　Ｐ4（１，０，０）≧０かつＰ4（ｘ，１，１）≧０

が成立することである．

［２］Ｐn（ｘ，ｙ，ｚ）が３次〜５次斉次対称多項式のとき，

　　Ｐn（ｘ，１，１）≧０かつＰn（ｘ，１，０）≧０

が成立することである．

［３］Ｐ5（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｓ5＋ａＴ4,1＋ｂＴ3,2＋ｃＵＳ2＋ｄＵＳ1,1，Ｐ5（１，１，１）＝３（１＋２ａ＋２ｂ＋ｃ＋ｄ）＝０のとき，Ｐ5（ｘ，１，０）≧０となるための必要十分条件は

　　（ａ≧−３かつａ＋ｂ＋１≧０）または（ａ＜−３かつｘ４ｂ≧（ａ＋１）^2＋４）

が成立することである．

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