【１】ベータ関数

　ベータ関数において，a=m/n,b=1/2とおき，t=x^nと置換すると，

　　∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）

したがって，

　(m,n)=(1,1)のとき，∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　(m,n)=(1,2)のとき，∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

　(m,n)=(1,3)のとき，∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

が得られます．

　　∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　　∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

は初等的にも得ることができます．一方，

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

は，特別な数と楕円積分を関係づけるものになっています．

　なお，

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

を得るには，ガンマ関数の乗法公式（倍数公式）

　　Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)

と相反公式（相補公式）

　　Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ

また，

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

を得るには乗法公式を用いています．

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【２】レムニスケート周率

　レムニスケートの弧長ｌは

　　l=∫(0,r){1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)dr

　　 =∫(0,r)2a^2/{4a^4-r^4}^(1/2)

とくに，a=１／√２とおくと，

　　l=∫(0,r)1/{1ｰr^4}^(1/2)

となります．

　このようにして，ベルヌーイはレムニスケートの弧長を

　　f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)

　　u=F(z)=∫(0,z)f(x)dx

と表しました．これがレムニスケート積分と呼ばれる積分です．

　ここで，

　　1/2・∫(0,1)f(x)dx=1.311028･･･=ω

とおくことにしましょう．4ωがレムニスケートの全長です．円に類比すると，レムニスケートの定数ωは円に対するπと同じ役割を演じていることになります．

　さらにまた，レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２^(2^m)＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．

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