【１】ガンマ関数

　　Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt　　 x>0

この無限積分をｘの関数とみてガンマ関数Γ(x)といいます．

　　Γ(1)=∫(0,∞)exp(-t)dt=1

　　Γ(1/2)＝∫(0,∞)t^(-1/2)exp(-t)dt

ここで，t=u^2とおくと∫(0,∞)e^-u^2/2du=√π/2（ガウス積分）より

　　Γ(1/2)＝√π

が得られます．

　オイラーの第２種積分とも呼ばれるガンマ関数Γ（ｘ）には，

　　Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）

の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．

　　Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････

　したがって，ｘが正の整数ｎのときには

　　Γ（ｎ＋１）＝ｎ！

が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．階乗の解析的補間をしている関数がガンマ関数なのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ゴンペルツの定数

　　∫(0,∞)exp(-t)/(1+t)dt

を考えます．

　　∫(0,∞)exp(-t)/(1+t)dt

=∫(0,∞)exp(-t)｛１−ｔ＋ｔ^2−ｔ^3＋・・・）dt

=∫(0,∞)exp(-t)dt−∫(0,∞)texp(-t)dt＋∫(0,∞)t^2exp(-t)dt−∫(0,∞)t^3exp(-t)dt＋・・・

＝Γ(1)−Γ(2)＋Γ(3)−Γ(4)＋・・・

＝Σ（−１）^nｎ！

＝０．５９６３４７３５５・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝