【2】平方剰余と原始根
[1]x^2+1=0 (mod p)はpが4m+1の形をしているとき,そのときに限り解ける.
合同式が解けるための条件は
(-1/p)=(-1)^(p-1)/2
[2]x^2+2=0 (mod p)はpが8m+1または8m+3の形をしているとき,そのときに限り解ける.
合同式が解けるための条件は
(2/p)=(-1)^(p^2-1)/8
[3]x^2+3=0 (mod p)はpが6m+1の形をしているとき,そのときに限り解ける.
合同式は(-3/p)=1ととき,そのときに限り解ける.
(-3/p)=(p/3)
pが6m+1の形のとき1,6m+5の形のとき-1
[4]3はp=2^n+1,n>1という形の任意の素数の原始根である.
(g/2^n+1)=-1でなければならないが,g=3はこの要求を満足させる.
[5]2はp=2m+1,m=4n+1という形の任意の素数の原始根である.-2はp=2m+1,m=4n+3という形の任意の素数の原始根である.
(g/2m+1)=1,g^2=1(mod2m+1)となることは許されないが,これらはこの要求を満足させる.
[6]2はp=4m+1という形の任意の素数の原始根である.
(g/4m+1)=1,g^4=1(mod4m+1)となることは許されないが,g=2はこの要求を満足させる.
[7]3はp=2^nm+1,n>1,m>3^2^(n-1)/2^nという形の任意の素数の原始根である.
(g/2^nm+1)=1,g^2^n=1(mod2^nm+1)となることは許されないが,g=3はこの要求を満足させる.
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