前述のように（ｐ／５）は簡単に計算されますが，その際，（５／ｐ）すなわちｘ^2＝５（ｍｏｄｐ）なる整数ｘがあるかどうかについてもわかるというのが平方剰余の相互法則なのです．（ａ／ｐ）はガウスの相互法則を用いてすばやく計算することができます．

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　以下，結果だけを紹介します．

［１］Ｑ（√−１）

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

ですから，

　　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）　→　　１

　　　ｐ＝３（ｍｏｄ４）　→　−１

　　　それ以外のとき　　　→　　０

　　Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・

［２］Ｑ（√２）

　　（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

　　　ｐ＝１，７（ｍｏｄ８）　→　　１

　　　ｐ＝３，５（ｍｏｄ８）　→　−１

　　　それ以外のとき　　　　　→　　０

　　Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s−１／３^s−１／５^s＋１／７^s＋・・・

［３］Ｑ（√−２）

　　（−２／ｐ）＝（２／ｐ）（−１／ｐ）＝（２／ｐ）（−１）^{(p-1)/2}

　　　ｐ＝１，３（ｍｏｄ８）　→　　１

　　　ｐ＝５，７（ｍｏｄ８）　→　−１

　　　それ以外のとき　　　　　→　　０

　　Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s＋１／３^s−１／５^s−１／７^s＋・・・

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　たとえば，Ｑ（√２）においては，ｐ＝１，７（ｍｏｄ８）なる素数が

　　７＝（３＋√２）（３＋√２）

　　１７＝（５＋２√２）（５−２√２）

　　ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2

　Ｑ（√−２）においては，ｐ＝１，３（ｍｏｄ８）なる素数が

　　３＝（１＋√−２）（１−√−２）

　　１１＝（３＋√−２）（３−√−２）

　　ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2

のように分解されます．

　こうして冒頭に掲げた類体論の話に至るのです．

　　「４ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋ｙ^2の形に書ける」

　　「６ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋３ｙ^2の形に書ける」

　　「８ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋２ｙ^2の形に書ける」

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