［Ｑ］整数ｍを

　　ｍ＝ｘ^2＋ｙ^2，（ｘ，ｙ）＝１

という形に表す仕方の数は，

　　ｚ^2＋１＝０　　　（ｍｏｄ　ｍ）

の解の個数に等しいことを証明せよ．

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［Ａ］もしｍがｍ＝ｘ^2＋ｙ^2，（ｘ，ｙ）＝１の形に表現されているならば，ｘ＝ｚｙ（ｍｏｄ　ｍ）の解，ｚ＝ｚ0（ｍｏｄ　ｍ）はまたｚ^2＋１＝０（ｍｏｄ　ｍ）の解である．したがって，ｚ^2＋１＝０（ｍｏｄ　ｍ）の各解にはｍ＝ｘ^2＋ｙ^2，（ｘ，ｙ）＝１の形の少なくともひとつの表示が対応する．

　任意の実数αは

　　α＝Ｐ／Ｑ＋θ／Ｑｎ

　　０≦Ｑ＜ｎ，（Ｐ，Ｑ）＝１，｜θ｜＜１

の形に表される．→コラム「ファレイ数列（その２）」参照．実際，τ＝√ｍとおけば

　　ｚ0／ｍ＝Ｐ／Ｑ＋θ／Ｑ√ｍ，

　　０≦Ｑ＜√ｍ，（Ｐ，Ｑ）＝１，｜θ｜＜１

のよう書ける．ゆえに，

　　ｚ0Ｑ＝ｍＰ＋ｒ，｜ｒ｜＜√ｍ

　さらに，ｚ^2＋１＝０（ｍｏｄ　ｍ）から従うように，

　　｜ｒ｜^2＋Ｑ^2＝０　　　（ｍｏｄ　ｍ）

このことと，０＜｜ｒ｜^2＋Ｑ^2＜２ｍから

　　ｍ＝｜ｒ｜^2＋Ｑ^2

となる．

　ここで，

　　１＝（ｒ^2＋Ｑ^2）／ｍ＝｛（ｚ0Ｑ−ｍＰ）ｚ0Ｑ−ｒｍＰ＋Ｑ^2｝／ｍ＝｛（ｚ0Ｑ−ｍＰ）ｚ0＋Ｑ｝Ｑ／ｍ−ｒＰ

（ｚ0Ｑ−ｍＰ）ｚ0＋Ｑはｍで割り切れるから

　　１＝−ｒＰ（ｍｏｄ　ｍ）→（｜ｒ｜，Ｑ）＝１

　もし，｜ｒ｜＝ｒならばｒ＝ｚ0Ｑ（ｍｏｄ　ｍ）だから，ｍ＝｜ｒ｜^2＋Ｑ^2という解は，ｚ^2＋１＝０（ｍｏｄ　ｍ）という解に対応する．もし，｜ｒ｜＝−ｒならばｚ0ｒ＝ｚ0^2Ｑ（ｍｏｄ　ｍ），Ｑ＝ｚ0｜ｒ｜（ｍｏｄ　ｍ）だから，ｍ＝｜ｒ｜^2＋Ｑ^2という解は，ｚ^2＋１＝０（ｍｏｄ　ｍ）という解に対応する．

　各解の対応する

　　ｍ＝ｘ^2＋ｙ^2，（ｘ，ｙ）＝１

は２つ以上はない．実際，

　　ｚ^2＋１＝０　　　（ｍｏｄ　ｍ）

の同一の解にｍ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｍ＝ｘ1^2＋ｙ1^2が対応したとすれば，ｘ＝ｚ0ｙ，ｘ1＝ｚ0ｙ（ｍｏｄ　ｍ）からｘｙ1＝ｘ1ｙ（ｍｏｄ　ｍ）が従う．したがって，（ｘ，ｙ）＝１，（ｘ1，ｙ1）＝１を考慮すれば，ｘ＝ｘ1，ｙ＝ｙ1となる．

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