Ｆn ＝２^2^n＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．

［１］２^n＋１が素数ならば，ｎ＝２^mである．

（証）

　ｎ≠２^mと仮定するとｎの因数のひとつは奇数であり，ｎ＝ｋｌ（ｌは奇数）と表される．

　　２^kl＋１＝（２^k）^;＋１＝（２^k＋１）（（２^k）^l-1−（２^k）^l-2＋・・・−２^k＋１）

は素数ではあり得ない．したがって，ｎの素因数は２だけである．

[２]フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｎ＝５であっけなく破綻してしまいました．

　　Ｆ0＝３（素数），Ｆ1＝５（素数），Ｆ2＝１７素数），Ｆ3＝２５７（素数），Ｆ4＝６５５３７（素数），Ｆ5＝４２９４９６７２９７（非素数）

　　Ｆ5 ＝２^2^5＋１＝４２９４９６７２９７

＝６４１×６７００４１７

＝（５・２^7＋１）（５２３４７・２^7＋１）

この間違いを発見したのはフェルマーから約１００年後のオイラーです．彼は約数６４１をあてずっぽうでみつけたのでも，２，３，５，７，・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません．オイラーはＦn が合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ・２^n+1 ＋１であることを知っていて，Ｆ5 の中の因数６４１＝１０・２^6 ＋１を見つけたのです．

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