ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2の整数解は

　　ｘ＝ａ^2−ｂ^2，ｙ＝２ａｂ，ｚ＝ａ^2＋ｂ^2

　　（ａ，ｂ）＝１，一方が偶数，他方が奇数

で与えられる．

　それに対して，

　ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^2

は整数解をもたない．

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（証）もし解をもてば

　　ｘ^2＝ａ^2−ｂ^2，ｙ^2＝２ａｂ，ｚ＝ａ^2＋ｂ^2

が成り立つ．

　（ｘ，ｙ）＝（奇，偶）とすると，奇数の平方は４で割ると１余るから

　（ａ，ｂ）＝（奇，偶）であることが導かれる．

　（ａ，ｂ）＝１→（ａ，２ｂ）＝１

　ｙ^2＝２ａｂ→ａ＝ｔ^2，２ｂ＝ｓ^2でなければならない．

→ｘ^2＝ａ^2−ｂ^2が解をもつ（ｘ，ｂ，ａ）は

　　ｘ＝ｍ^2−ｎ^2，ｂ＝２ｍｎ，ａ＝ｍ^2＋ｎ^2

　　（ｍ，ｎ）＝１，一方が偶数，他方が奇数

が存在する．

　　ｍｎ＝ｂ／２＝（ｓ／２）^2→ｍ＝ｐ^2，ｎ＝ｑ^2でなければならない．

　一方，ａ^2＝ｔ^2，ａ＝ｍ^2＋ｎ^2であるから，

　　ｐ^4＋ｑ^4＝ｔ^2

となるが，解の列は無限に減少するから矛盾．

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