積分∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx=?について，

［１］k=iの場合，第３項までだと　　1+1/2+1/3<2

［２］k=2i+1の場合，第６項までだと　　1+1/3+･･･+1/13<2

［３］k=3i+1の場合，第１０項までだと　　1+1/4+･･･+1/28+1/31<2

［４］k=2^iの場合，無限項まで計算しても　　1+1/2+1/4+1/8+･･･+1/2^(i-1)=2(1-1/2^i)<2

であり，このとき，

　　∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx=π/2

となることをみてきた．

　今回はダメ押しとして

［５］k=i^2の場合

について調べてみる．

　　1+1/4+1/9+1/16+･･･+1/i^2<π^2/6<2

が成り立つことは説明するまでもないであろう．

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【１】∫(0,∞)Πsin(x/k^2)/(x/k^2)dx=?

　阪本ひろむ氏＆Mathematicaに調べてもらった．

　　∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/4)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/4)sinc(x/9)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/4)sinc(x/9)sinc(x/16)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/4)sinc(x/9)･･･sinc(x/13^2)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/4)sinc(x/9)･･･sinc(x/14^2)dx=π/2

ここで打ち切り．

　同様に，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2^3)sinc(x/3^3)･･･sinc(x/10^3)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2^4)sinc(x/3^4)･･･sinc(x/10^4)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2^5)sinc(x/3^5)･･･sinc(x/10^5)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2^6)sinc(x/3^6)･･･sinc(x/10^6)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/2^7)sinc(x/3^7)･･･sinc(x/10^7)dx=π/2

ここで打ち切り．

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