１＋２＝３

　４＋５＋６＝７＋８

　９＋１０＋１１＋１２＝１３＋１４＋１５

も証明しておきたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｋ番目のグループまでの自然数の数は

　　３＋５＋７＋・・・＋（２ｋ＋１）＝（ｋ＋１）^2−１＝ｐ，ｋ^2−１＝ｑ

　ｋ番目のグループ和は

　　ｐ（ｐ＋１）／２−ｑ（ｑ＋１）／２

＝｛（ｋ＋１）^4−（ｋ＋１）^2−ｋ^4＋ｋ^2｝／２

＝｛４ｋ^3＋６ｋ^2＋４ｋ＋１−２ｋ−１｝／２

＝｛２ｋ^3＋３ｋ^2＋ｋ｝

　右辺は第（ｋ＋１）^2−ｋ項から第（ｋ＋１）^2−１項までの和である．

右辺＝｛（ｋ＋１）^2−１＋（ｋ＋１）^2−ｋ｝・ｋ／２

＝｛２ｋ^2＋３ｋ＋１｝・ｋ／２

　よって，左辺＝右辺

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝