【１】位相幾何から

　位相幾何学（トポロジー）とは形には関係しないで，接触・分離にだけ関係する不変な図形の性質（位相不変量）を研究する学問です．その代表的な例がオイラー・ポアンカレの定理です．まずは，次の問題を解いてみましょう．

［Ｑ］３次元立体では，必ず頂点に結合する辺の個数が３の頂点か３角形の面をもつことを示せ．

（答）ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　i)Σｎｆn＝Σｎｖn

　ii)Σｆ2n+1は偶数

　iii)ｖ3＋ｆ3＞０

を順に示していきます．

　（答）各辺は２個の頂点をもつから，Σｎｖn＝２Ｅ

　　　　また，各辺では２枚の面が交わるからΣｎｆn＝２Ｅ

　（答）ｉ）より，Σ（２ｎ＋１）ｆ2n+1＝（偶数）

　　　　したがって，Σｆ2n+1も偶数

　（答）Ｅ＝Σｅn，Ｖ＝Σｖn，Ｆ＝Σｆn，Σｎｆn＝Σｎｖn＝２Ｅ

　　　　もしｖ3＝０，ｆ3＝０ならば，

　　　　２Ｅ＝４ｖ4＋５ｖ5＋・・・≧４Ｖ　同様に，２Ｅ≧４Ｆ

　　　　これより，Ｖ−Ｅ＋Ｆ≦Ｅ／２＋Ｅ／２−Ｅ＝０

　　　　これはオイラーの多面体定理：Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２に矛盾するから，

　　　　ｖ3，ｆ3のうち，少なくとも１つは０でない．

　さらに，オイラーの多面体定理で示される制限から，単一の凸ｎ角形で平面を敷き詰めるものはｎ≧７では存在しないこと，２次元以上ですべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつこと，また，３次元では１４以上の凹面細胞をもつことは許されないことなどが導き出されています．

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