半径１の半球を底面と平行な平面ｙ＝ａで切って，体積を２等分するにはどこで切ればよいか−−−「まんじゅう等分問題」を解いてみよう．

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【１】まんじゅう等分問題

　y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる回転体の体積は

　　V[y]=π∫y^2dx

で与えられる．y=(1-x^2)^(1/2)とおくと

　　V[y]=π∫(1-x^2)dx

したがって，

　　π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3

が球全体の１／４になればよい．

　　π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3=π/3

　　a^3-3a+1=0

　　a=0.3472963553=2cos10

　ついでに，半球の表面積を２等分するにはどこで切ればよいかの解も求めておこう．y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

で与えられるから，y=(1-x^2)^(1/2)とおくと

　　S[y]=2π∫(0,a)dx=2πa=0.5/2･4π

より

　　a=0.5=sin30

と求められる．

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【２】ボレルのパラドックス

　「まんじゅう等分問題」に関連して，ボレルのパラドックスと呼ばれる問題を取り上げたい．

［Ｑ］地球の表面上の１点を無作為に選ぶき，その緯度が北緯３０°以上である確率を求めよ．

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［Ａ１］その点の経度がα°である円周を考える．北緯３０°以上である確率はこの円周の１／３である．

［Ａ２］北半球だけを考えると赤道から北緯３０°のベルトの面積と北緯３０°以上の極地の面積は等しい．したがって，球面全体の面積を考えると，北緯３０°以上の極地の面積はその１／４である．

　どちらが正しいだろうか？　正解は［Ａ２］である．ｎ次元球面を考えるともっとややこしくなるが，［Ａ２］のやりかたで問題は解決する．

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