「直角双曲線ｙ＝１／ｘのｘ≧１の部分をｘ軸のまわりで回転させて得られる」のがトリチェリのラッパである．（その１）ではトリチェリのラッパのパラドックスなどを紹介したが，フラクタル図形ではどうなっているだろうか？

　［参］アン・ルーニー「数学は歴史をどう変えてきたか」東京書籍

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【１】体積有限・表面積無限

　無限に長いラッパの表面積は無限大であるが，体積は有限となる逆説的な立体である．

　　Ｖ＝π∫(1,∞)（１／ｘ）^2ｄｘ＝π［−１／ｘ］(1,∞)＝π

　　Ｓ＝∫(1,∞)１／ｘ（１＋１／ｘ^4）^1/2ｄｘ＞∫(1,∞)１／ｘｄｘ＝［ｌｏｇｘ］(1,∞)＝∞

　ラッパ形でなく塔形にすると調和級数に帰着され，複雑な積分計算を回避することができる．

　　Ｖ＝π∫(1,∞)（１／ｘ）^2ｄｘ＜πΣ１／ｎ^2＝π^3／６

　　Ｓ＝∫(1,∞)１／ｘ（１＋１／ｘ^4）^1/2ｄｘ＞２πΣ１／ｎ＝∞」

　また，トリチェリのラッパは重心をもたない．

　　Ｇ＝π∫(1,∞)ｘ（１／ｘ）^2ｄｘ＝π［ｌｏｇｘ］(1,∞)＝∞

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【２】表面積有限・体積無限

　シッソイド：ｙ^2＝ｘ^3／（１−ｘ）はｘ＝１で垂直な漸近線をもつが，ｙ軸を中心に回転させた立体は表面積有限・体積無限である．この立体は「無限にお酒を注げるグラス，大酒飲みでも飲みつくせないグラス」とジョークで語られている．

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【３】周長無限・面積有限のフラクタル図形

　幾何学では分数次元を想像することも可能であるが，中でも有名なのは「コッホ雪片」である．コッホ雪片ではまず１辺の長さ１の正三角形を描く．それぞれの辺を３等分し，真ん中の部分を取り除く．そこに同じ長さの辺でできた正三角形を置く．この操作を何回も繰り返すと，雪の結晶のような形になる．

　周長は１回の操作ごとに１／３ずつ増えるので，ｎ回後の長さは（４／３）^n→∞である．また，無限に繰り返した結果できるフラクタル図形の面積は

　　Ｓ＝√３／４＋√３／４・（１／３）^2・３＋√３／４・（１／９）^2・３・４＋√３／４・（１／２７）^2・３・４・４＋・・・＝√３／４＋√３／１２／（１−４／９）＝√３／４＋３√３／２０＝２√３／５である．つまり，無限の周囲が有限の面積を囲んでいることになる．

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