［参］ハヴィル「反直観の数学パズル」白揚社

の問題について，ｎ次元超球の体積和を計算してみたい．

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【１】ｎ次元超球の体積和

　ｎ→∞のとき，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)→０

より，ｎ次元単位超球の体積和ΣＶnの値が存在する可能性がある．

　具体的な表示式を求めてみるために，偶数次元和と奇数次元和に分けて考える．偶数次元和は

　　Σπ^m／ｍ！＝ｅｘｐ（π）−１

奇数次元和は複雑になるが，

　　Σπ^(m-1/2)／Γ（ｍ＋１／２）！＝ｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π）

したがって，

　　ΣＶn＝ｅｘｐ（π）（１＋Ｅｒｆ（√π））−１＝４４．９９９・・・

　また，表面積和ΣｎＶnは，偶数次元和では

　　２（√２π）ｅｘｐ（π）

奇数次元和では

　　２（１＋πｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π））

したがって，

　　ΣｎＶn＝２（√２π）ｅｘｐ（π）＋２（１＋πｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π））＝２６１．６３５・・・

［補］

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・≒π＋２０

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

　　０＜（ｅ^π−π^e）＜１

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【２】体積和の計算

［１］ｎ＝２ｍのとき，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

　　Ｖ2m＝π^m/Γ(m+1)＝π^m/m!　　（ｍ＝１〜

ここで，

　　exp(x)=1+Σx^m/m!　　（ｍ＝１〜）

より，

　　ΣＶ2m＝Σπ^m／ｍ！＝ｅｘｐ（π）−１

［２］ｎ＝２ｍ＋１のとき，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

　　Ｖ2m+1＝π^m+3/2/Γ(m+3/2)

　　Γ(m+3/2)＝(m+1/2)Γ(m+1/2)＝(m+1/2)(m-1/2)Γ(m-1/2)＝・・・＝(m+1/2)(m-1/2)･･･1/2Γ(1/2)＝（２ｍ＋１）！！／２^m√π

したがって，

　　Ｖ2m+1＝π^m+3/2/Γ(m+3/2)＝２^mπ^m+1/2／（２ｍ＋１）！！　　（ｍ＝０〜）

　ここで，

　　Ｅｒｆ(x)=ｅｘｐ（−ｘ^2）Σ２^mｘ^2m+1／（２ｍ＋１）！！　　（ｍ＝０〜）

　　ｅｘｐ（ｘ^2）Erf(x)＝Σ２^mｘ^2m+1／（２ｍ＋１）！！

より，

　　ΣＶ2m+1＝ｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π）

　　ΣＶn＝ΣＶ2m＋ΣＶ2m+1＝ｅｘｐ（π）（１＋Ｅｒｆ（√π））−１＝４４．９９９・・・

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