私は特別な医学的知識を持っているわけではないが，血液中のコレステロール値が高いと心臓病になる，逆に心臓病にかかっている人々はコレステロール値が高いこと（相関があること）は証明された事実である．

　だから，医者は心臓病にかかりにくくするためにはダイエットすべきであるというが，心臓病患者に見られる高コレステロール血症は，病気の結果の症状であって，原因ではないかもしれない．

　そう考えると，低脂肪食のダイエットが，実際に心臓病にかかる確率を減らすという論理は，数学的には保証されないひとつの仮説に過ぎないことがわかるだろう．どちらが原因でどちらが結果なのか，あるいはその両方とも未知の原因の結果かもしれないのである．

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【１】ｎ次元超球

　球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径），Ｖ2=π（面積），Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．

　したがって，ｎ＝２，３，４では単位立方体（対角線の長さ√ｎ）は単位球体の中に含まれますが，ｎ≧５でははみ出る部分があり，次元とともにはみ出る部分が増えていきます．単位球体の直径は次元によらず２なのです．

　ｎ次元単位超球の体積Ｖn，その表面積を表面積Ｓn-1とすると，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となります．ｎ次元単位超球の体積Ｖnを求めてみると，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．また，Γ(m+1)=m!より，この結果は，形式的に

　　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!

と書くことができます．

　Ｖn-1がわかれば，Ｖnは漸化式：

　　Ｖn/Ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

　　ｎが奇数であれば，Ｖn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

　　ｎが偶数であれば，Ｖn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．１次元から６次元までを具体的に書けば，

　　Ｖn＝２，π，４π／３，π^2／２，８π^2／１５，π^3／６

という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．

　そして，ｎ→∞のとき，

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０

　　Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，１次元から１４次元までの具体的数字は次の通りです．

ｎ Ｖn ｎ Ｖn ｎ Ｖn

１ 2 ６ 5.168 11 1.884

２ 3.142 ７ 4.725 12 1.335

３ 4.189 ８ 4.059 13 0.911

４ 4.934 ９ 3.299 14 0.599

５ 5.264 10 2.550

　このように，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は次元とともに急激に減少します．（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）幾何学では５，６次元を境にして本質的に様子が変わっていることが少なくないのですが，このことはその原因の一端をほのめかしていると考えられます．

　超球の体積はｎ＝５のとき最大（８π^2／１５）であり，それに対して表面積ｎｖnが最大（１６π^3／１５）になるのはｎ＝７のときです．どちらもｎが大きくなると急激に０に近づきます．

　Ｓn-1球面上で一様に分布する点の配置は一様に分布しているといっても，大きなｎに対してはほとんどが赤道のかなり近くに位置していること，また，（直観に反して）超球の体積Ｖnの大部分はその球殻付近に集中しています．いわゆる薄皮まんじゅう状態なのですが，ｎ＝２，３などの場合から類推すると非常に奇妙に感じられます．

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【２】ｎ次元超球の体積和

　　［参］ハヴィル「反直観の数学パズル」白揚社

におもしろい問題が取り上げてあったので紹介したい．ｎ→∞のとき，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)→０

より，ｎ次元単位超球の体積和ΣＶnの値が存在する可能性がある．

　具体的な表示式を求めてみるために，偶数次元和と奇数次元和に分けて考える．偶数次元和は

　　Σπ^m／ｍ！＝ｅｘｐ（π）−１

奇数次元和は複雑になるが，

　　Σπ^(m-1/2)／Γ（ｍ＋１／２）！＝ｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π）

したがって，

　　ΣＶn＝ｅｘｐ（π）（１＋Ｅｒｆ（√π））−１＝４４．９９９・・・

　また，表面積和ΣｎＶnは，偶数次元和では

　　２（√２π）ｅｘｐ（π）

奇数次元和では

　　２（１＋πｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π））

したがって，

　　ΣｎＶn＝２（√２π）ｅｘｐ（π）＋２（１＋πｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π））＝２６１．６３５・・・

［補］

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・≒π＋２０

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

　　０＜（ｅ^π−π^e）＜１

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