【３】モ−ザーのパラドックス

　ｎ次元ユークリッド空間において，１辺の長さが１の立方体[-1/2,1/2]^nをｎ次元単位立方体といいます．その体積は１ですが，もっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さはｎ次元ユークリッド空間の距離の定義から

　　√（１^2＋１^2＋・・・＋１^2）＝√ｎ

となります．したがって，次元ｎが大きくなると対角線の長さ√ｎはどんどん大きくなり，身長１７０ｃｍの人間はおろか，ついには地球でさえ含むことができるようになります．

　辺の長さが４の正方形に４つの単位円板を詰めると，４つの円板で囲まれた部分に，第５の小さな円を入れることができます．また，辺の長さが４の立方体の８つのカドに単位球を８個詰めると，中にできる隙間に第９の小さな球を入れることができます．ピタゴラスの定理によって第５の円，第９の球の半径はそれぞれ√２−１，√３−１だとわかります．

　これと同じことを４次元以上の空間で行うことができます．もはやイメージすることは不可能ですが，１辺の長さが４の４次元超立方体の１６個のカドに１６個の単位球を詰めると，中の隙間には半径√４−１＝１の４次元超球（すなわち単位球）が入ります．同様に，１辺の長さが４のｎ次元超立方体の２^n個のカドに単位球を詰めると，中の隙間に半径√ｎ−１のｎ次元超球が詰められるのです．

　しかし，ここの驚きが潜んでいます．たとえば，ｎ＝９の場合，中に詰められるｎ次元超球の半径は√９−１＝２であり，この球は外側の立方体の表面に接してしまい，ｎ＞９だとはみ出してしまうのです．この驚くべき結論は，日常生活ではありえないだけに面食らってしまいます．

　次元とともにはみ出る部分が増えているのですが，球の詰め込みに関するこのはみ出し現象は，モーザーのパラドックスとして知られているものです．この逆説は，人間の直観や勘は３次元までの世界では働きますが，４次元以上の高次元についてはあまり働かないという例として，しばしば引き合いに出されます．

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【４】ｎ次元超球

　球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径），Ｖ2=π（面積），Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．

　したがって，ｎ＝２，３，４では単位立方体（対角線の長さ√ｎ）は単位球体の中に含まれますが，ｎ≧５でははみ出る部分があり，次元とともにはみ出る部分が増えていきます．単位球体の直径は次元によらず２なのです．

　ｎ次元単位超球の体積Ｖn，その表面積を表面積Ｓn-1とすると，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となります．ｎ次元単位超球の体積Ｖnを求めてみると，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．また，Γ(m+1)=m!より，この結果は，形式的に

　　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!

と書くことができます．

　Ｖn-1がわかれば，Ｖnは漸化式：

　　Ｖn/Ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

　　ｎが奇数であれば，Ｖn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

　　ｎが偶数であれば，Ｖn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．１次元から６次元までを具体的に書けば，

　　Ｖn＝２，π，４π／３，π^2／２，８π^2／１５，π^3／６

という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．

　そして，ｎ→∞のとき，

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０

　　Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，１次元から１４次元までの具体的数字は次の通りです．

ｎ Ｖn ｎ Ｖn ｎ Ｖn

１ 2 ６ 5.168 11 1.884

２ 3.142 ７ 4.725 12 1.335

３ 4.189 ８ 4.059 13 0.911

４ 4.934 ９ 3.299 14 0.599

５ 5.264 10 2.550

　このように，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は次元とともに急激に減少します．（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）幾何学では５，６次元を境にして本質的に様子が変わっていることが少なくないのですが，このことはその原因の一端をほのめかしていると考えられます．

　超球の体積はｎ＝５のとき最大（８π^2／１５）であり，それに対して表面積ｎｖnが最大（１６π^3／１５）になるのはｎ＝７のときです．どちらもｎが大きくなると急激に０に近づきます．

　Ｓn-1球面上で一様に分布する点の配置は一様に分布しているといっても，大きなｎに対してはほとんどが赤道のかなり近くに位置していること，また，（直観に反して）超球の体積Ｖnの大部分はその球殻付近に集中しています．いわゆる薄皮まんじゅう状態なのですが，ｎ＝２，３などの場合から類推すると非常に奇妙に感じられます．

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【５】ｎ次元超球の体積和

　　［参］ハヴィル「反直観の数学パズル」白揚社

におもしろい問題が取り上げてあったので紹介したい．ｎ→∞のとき，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)→０

より，ｎ次元単位超球の体積和ΣＶnの値が存在する可能性がある．

　具体的な表示式を求めてみるために，偶数次元和と奇数次元和に分けて考える．偶数次元和は

　　Σπ^m／ｍ！＝ｅｘｐ（π）−１

奇数次元和は複雑になるが，

　　Σπ^(m-1/2)／Γ（ｍ＋１／２）！＝ｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π）

したがって，

　　ΣＶn＝ｅｘｐ（π）（１＋Ｅｒｆ（√π））−１＝４４．９９９・・・

　また，表面積和ΣｎＶnは，偶数次元和では

　　２（√２π）ｅｘｐ（π）

奇数次元和では

　　２（１＋πｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π））

したがって，

　　ΣｎＶn＝２（√２π）ｅｘｐ（π）＋２（１＋πｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π））＝２６１．６３５・・・

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