レムニスケートサインのｎ倍角公式を用いたレムニスケートのｎ等分点についてまとめておきたい．

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［１］３等分点

　３倍角の公式

　　ｓｌ（３ｕ）＝ｓｌ（ｕ）（３−６ｓｌ^4（ｕ）−ｓｌ^8（ｕ））／（１＋６ｓｌ^4（ｕ）−３ｓｌ^8（ｕ））

　ｕ＝ω／３とおくと，ｓｌ（３ｕ）＝０であるから，

　　３−６ｓｌ^4（ｕ）−ｓｌ^8（ｕ）＝０

を満たす．この方程式の実根は

　　ｓｌ（ｕ）＝（２√３−３）^1/4

である．

［２］４等分点

　　ｓｌ（ω／２−ｕ）＝ｓｌ’（ｕ）／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）｝

　　ｕ＝ω／４，ｒ＝ｓｌ（ｕ），ｓｌ’（ｕ）＝（１−ｓｌ^4（ｕ））^1/2

より，

　　ｒ＝（１−ｒ^4）／（１＋ｒ^2）→ｒ＝（√２−１）^1/2

　　Ｐ4（ｘ）＝４（１＋ｘ）（１−６ｘ＋ｘ^2）＝０

　　ｘ＝３−２√２ではない．

［３］５等分点

　　Ｐ5（ｓ）＝（５−２ｓ^4＋ｓ^8）（１−１２ｓ^4−２６ｓ^8＋５２ｓ^12＋ｓ^16）＝０

　　ｓ＝｛−１３＋６√５−２（８５−３８√５）^1/2｝^1/4＝０．５２０４７

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