【５】ヴォルファルトの発見

　ω1，ω2を１次独立な基底とする格子を考えます．その商τ＝ω1／ω2を基本領域Γに属するようにとると，ある楕円曲線が構成され，判別式Δは重さ１２のモジュラー形式となります．また，ｊ（τ）は上半平面におけるΓ不変な重さ０のモジュラー関数となります．

　虚２次体の虚数乗法の理論から，あるτに対する楕円モジュラー関数の値ｊ（ｚ）は代数的であることが知られています．逆にいうと，虚２次でない任意の代数的数に対しｊ（ｚ）は超越数になるというのです．

　そして，ヴォルファルトは

(1)Ｑ（ｉ）に属するあるτに対して，ｚ＝１−１／ｊ（τ），2F1(1/12,5/12;1/2;z)が代数的点となるτが存在する

(2)Ｑ（√−３）に属するあるτに対して，ｚ＝ｊ（τ）／（ｊ（τ）−１），2F1(1/12,5/12;1/2;z)が代数的点となるτが存在する

ことを示し，実際の代数的点

　　2F1(1/12,5/12;1/2;1323/1331)=3/4･4√11

　　2F1(1/12,7/12;2/3;64000/64009)=2/3･6√253

を求めています（１９８５年）．

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