【３】超越関数の例（双曲的三角群）

　まず，リーマンスキーム（λ，μ，ν）とガウスの微分方程式（α，β，γ）の対応を与えておきますが，３つの特異点のまわりでの局所的考察から，整数部分を除いた小数点以下の端数部分に関して，

　　頂点ｆ（０）でλ＝｜１−γ｜，

　　頂点ｆ（１）でμ＝｜γ−α−β｜，

　　頂点ｆ（∞）でν＝｜β−α｜

であることがわかります．

　したがって，（α，β，γ）＝（１／２，１／２，１）のとき，１−１＝０＝１／∞，１−１／２−１／２＝０＝１／∞，１／２−１／２＝０＝１／∞

より

　　（λ，μ，ν）＝（１／∞，１／∞，１／∞）　→　Γ（２）

　（α，β，γ）＝（１／１２，５／１２，１）のとき，１−１＝０＝１／∞，１−１／１２−５／１２＝１／２，１／１２−５／１２＝−１／３

より

　　（λ，μ，ν）＝（１／∞，１／２，１／３）　→　ＰＳＬ（２，Ｚ）

　（α，β，γ）＝（１／１２，５／１２，１／２）のとき，１−１／２＝１／２，１／２−１／１２−５／１２＝０＝１／∞，１／１２−５／１２＝−１／３

より

　　（λ，μ，ν）＝（１／∞，１／２，１／３）　→　ＰＳＬ（２，Ｚ）

　（α，β，γ）＝（１／１２，７／１２，２／３）のとき，１−２／３＝１／３，２／３−１／１２−７／１２＝０＝１／∞，１／１２−７／１２＝−１／２

より

　　（λ，μ，ν）＝（１／∞，１／２，１／３）　→　ＰＳＬ（２，Ｚ）

　これらは双曲的三角群であって，シュワルツの三角群には含まれませんから，

　　2F1(1/12,5/12;1/2;x)

　　2F1(1/12,7/12;2/3;x)

などは超越関数となることがわかります．

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