ｘ^2＋ｘ＋（１±ｐ）／４の判別式は

　　Ｄ＝１−（１±ｐ）＝±ｐ

したがって，ｐはｘ^2＋ｘ＋（１±ｐ）／４の素因数である．

　　ｘ^2＋ｘ＋（１−ｐ）／４　　（ｐが４ｎ＋１型素数であるとき）

　　ｘ^2＋ｘ＋（１＋ｐ）／４　　（ｐが４ｎ＋３型素数であるとき）

［１］ｐ＝７

　　ｘ^2＋ｘ＋２の判別式は−７

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［１］ｘ＝１，ｘ^2＋ｘ＋２＝４＝２^2

［２］ｘ＝２，ｘ^2＋ｘ＋２＝８＝２^3

［３］ｘ＝３，ｘ^2＋ｘ＋２＝１４＝２・７

［４］ｘ＝４，ｘ^2＋ｘ＋２＝２２＝２・１１

［５］ｘ＝５，ｘ^2＋ｘ＋２＝３２＝２^5

［６］ｘ＝６，ｘ^2＋ｘ＋２＝４４＝２^2・１１

［７］ｘ＝７，ｘ^2＋ｘ＋２＝５８＝２・２９

［８］ｘ＝８，ｘ^2＋ｘ＋２＝７４＝２・３７

［９］ｘ＝９，ｘ^2＋ｘ＋２＝９２＝２^2・２３

［10］ｘ＝10，ｘ^2＋ｘ＋２＝１１２＝２^4・７

　素因数をまとめると

　　２，７，１１，２３，２９，３７

（７を除いて）７で割った余りは

　　２，４，２，１，２

すべて５で割った余りが１か２か４になる．すなわち，７ｎ＋１，７ｎ＋２，７ｎ＋４型素数である．

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