２次式ｘ^2＋ｂｘ＋ｃの判別式Ｄ＝ｂ^2−４ｃ素因数は，ｘ^2＋ｂｘ＋ｃの素因数である．

　ｘ^2＋ｘ＋（１±ｐ）／４の判別式は

　　Ｄ＝１−（１±ｐ）＝±ｐ

したがって，ｐはｘ^2＋ｘ＋（１±ｐ）／４の素因数である．

　　ｘ^2＋ｘ＋（１−ｐ）／４　　（ｐが４ｎ＋１型素数であるとき）

　　ｘ^2＋ｘ＋（１＋ｐ）／４　　（ｐが４ｎ＋３型素数であるとき）

［１］ｐ＝３

　　ｘ^2＋ｘ＋１の判別式は−３

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［１］ｘ＝１，ｘ^2＋ｘ＋１＝３

［２］ｘ＝２，ｘ^2＋ｘ＋１＝７

［３］ｘ＝３，ｘ^2＋ｘ＋１＝１３

［４］ｘ＝４，ｘ^2＋ｘ＋１＝２１＝３・７

［５］ｘ＝５，ｘ^2＋ｘ＋１＝３１

［６］ｘ＝６，ｘ^2＋ｘ＋１＝４３

［７］ｘ＝７，ｘ^2＋ｘ＋１＝５７＝３・１９

［８］ｘ＝８，ｘ^2＋ｘ＋１＝７３

［９］ｘ＝９，ｘ^2＋ｘ＋１＝９１＝７・１３

［10］ｘ＝10，ｘ^2＋ｘ＋１＝１１１＝３・３７

　素因数をまとめると

　　３，７，１３，１９，３１，３７，４３，７３

（３を除いて）３で割った余りは

　　１，１，１，１，１，１，１

すべて３で割った余りが１になる．すなわち，３ｎ＋１型素数である．

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