一般に，ある整数ｘに対して，素数ｐが２次式ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃの素因数であれば，ｘをｐで割った余りｒ（０≦ｒ＜ｐ）に対して，ｐはａｐ^2＋ｂｐ＋ｃの素因数になる．

（証）ｘ＝ｐｋ＋ｒをａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに代入して整理すると

ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ｐ（ａｐｋ^2＋２ａｋｒ＋ｂｋ）＋ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ

　したがって，ｐがａｘ^2＋ｂｘ＋ｃの素因数であるかどうかを知るためには，（０≦ｘ＜ｐ）の範囲で調べれば十分である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　また，２次式ｘ^2＋ｂｘ＋ｃの判別式Ｄ＝ｂ^2−４ｃ素因数は，ｘ^2＋ｂｘ＋ｃの素因数である．

［１］ｘ^2−２の素因数をまとめると，→Ｄ＝８

　　２，７，１７，２３，３１，４７，７９

８で割った余りは

　　２，１，１，７，７，７，７

奇数の素因数に限ると，すべて８で割った余りが１または７になる（第２補充則）．

［２］ｘ^2＋２の素因数をまとめると，→Ｄ＝８

　　２，３，１１，１７，１９，８３

８で割った余りは

　　２，３，３，１，３，３

奇数の素因数に限ると，すべて８で割った余りが１または３になる．

［３］ｘ^2＋１の素因数をまとめると→Ｄ＝−４

　　２，５，１３，１７，３７，４１，１０１

４で割った余りは

　　２，１，１，１，１，１，１

奇数の素因数に限ると，すべて４で割った余りが１になる．すなわち，４ｎ＋１型素数である（第１補充則）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝