［１］メルセンヌ数２^p−１の素因数をｐで割ると１余る素数になる．

さらに

［２］ｐが４で割って３余り，２ｐ＋１が素数（ソフィー・ジェルマン素数）ならば，２^p−１は２ｐ＋１で割り切れる．

［３］２^n−１の素因数を８で割ると１または７余る素数になる．

　性質［３］の背景には，一見無関係にみえるｘ^2−２の素因数の性質（第２補充則）がある．

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　ｐを２^n−１の素因数とすると，

　　２（２^n−１）＝２^n+1−２

の素因数であるが，ｎは奇数だから

　　２^n+1−２＝（２^(n+1)/2）^2−２

の素因数である．ｘ＝２^(n+1)/2とおくと，ｐはｘ^2−２の素因数となる．

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