【３】佐藤予想

　ところで，誤差項Ｍpはｐに比べて小さく，

　　｜Ｍp｜＝｜c(p)｜≦２√ｐ

を満たすことが証明されています（ハッセの定理，１９３３年）．

　そこで，

　　ｃｏｓθp＝c(p)／２√ｐ

とおくと，数論における楕円曲線のヴェイユ・ゼータに関する佐藤（幹夫）予想とは，楕円曲線Ｅの位数の分布に関するもので，Ｅが虚数乗法をもたないとき，偏角θpが任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度：

　　＃｛ｐ≦ｘ；ａ＜θp＜ｂ｝／π（ｘ）　〜　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

すなわち，その角分布はｓｉｎ^2θに比例するであろうというものです．

　角分布がsin^2θに比例するという佐藤予想の最初の記述は，資料によると，昭和３８年（１９６３年）のことなのですが，ｓｉｎ^2予想でｔ＝ｃｏｓθとおけば， 　

　偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度　〜　2/π∫(α,β)√(1-t^2)dt

となりますから，これも１種の半円則となっていることがわかります．

　佐藤予想には，多くの言い換えがあって，

(1)ｘ^2＋Ｍpｘ＋ｐ＝０

の解を

　　√ｐ（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）

とするとき，その角分布はｓｉｎ^2θに比例する

(2)Ｍp／２√ｐが√（１−ｘ^2）に比例する

(3)ハミルトンの４元数環（フルヴィッツの整数）：（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ）／２の半径ｐの格子点３次元球面：ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝４ｐの一様分布の実軸方向への射影である

といっても同じことです．

　佐藤予想（佐藤・テート予想）は現在も未解決で，リーマン予想に匹敵する予想であるといわれています．

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