コラム「立方体に内接する最大の正多面体」を再掲

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　中川宏さんにより，立方体からすべての正多面体の木工製作手順が完成しているのですが，正多面体の木工製作可能性が確立したあとの次なるテーマとして経済性を求める問題＜最小工程問題と最小余白問題＞が考えられます．最小余白問題，すなわち，立方体（あるいは直方体）から多面体を作るときできるだけ余白を少なくし，できる限り大きな体積の多面体を作りたいというのはごく自然な発想でしょう．

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【１】立方体に内接する正多面体

　正四面体をＴ，立方体をＣ，正八面体をＯ，正十二面体をＤ，正二十面体をＩで表します．Ｔ　ｉｎ　Ｃでは立方体の上面に１本の対角線を引きます．下面には上面の対角線と直交する向きの対角線を引きます．この４頂点を選べば驚くほど単純な正四面体が得られます．Ｔの辺がＣの対角線になるように配置すると立方体に正四面体を内接させることができることは最初ケプラーにより指摘されたので，ケプラー四面体と呼ぶことにします．

　Ｏ　ｉｎ　Ｃでは立方体の各面に２本ずつ対角線を引き，６個の対角線の交点を選べば正八面体が得られます．この正八面体は立方体に内接する２つのケプラー四面体の積集合になっています．なお，積集合ではなく和集合はケプラーの八角星と呼ばれます．

　Ｄ　ｉｎ　Ｃでは立方体の各面上にＤの辺がＣの辺と平行になるように配置します．Ｄの３組の辺はｘ軸，ｙ軸，ｚ軸と平行になります．Ｉ　ｉｎ　Ｃも同様です．このとき，もとの立方体との体積比はどれくらいになっているのでしょうか？　

　正六面体の４個の頂点を結ぶと，正六面体の中に正四面体ができますから，この正四面体の体積はもとの正六面体の１／３であること，正四面体の６個の辺の中点を結ぶと，正四面体の中に正八面体ができますから，この正八面体の体積はもとの正四面体の１／２であることは簡単にわかります．したがって，正八面体の体積はもとの立方体の１／６となります．

［１］正１２面体の場合

　もとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄ（０≦ｄ≦１）とすると，

　　ｄ＝（３−√５）／２

したがって，もとの立方体との体積比は

　　１：ｄ^3（１５＋７√５）／４=1:0.427051

［２］正２０面体の場合

　正十二面体の場合と同様に，もとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄ（０≦ｄ≦１）とすると，

　　ｄ＝（√５−１）／２

したがって，もとの立方体との体積比は

　　１：ｄ^3（１５＋５√５）／１２=1:0.515028

　以上より，各正多面体の１辺の長さをａとして，正多面体の体積ともとの立方体との体積比を記すと

　　　　　　　　体積

正四面体　　　　ａ^3√２／１２　　　　　　　　　０．３３３

正六面体　　　　ａ^3　　　　　　　　　　　　　　１

正八面体　　　　ａ^3√２／３　　　　　　　　　　０．１６７

正１２面体　　　ａ^3（１５＋７√５）／４　　　　０．４２７

正２０面体　　　ａ^3（１５＋５√５）／１２　　　０．５１５

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【２】立方体に内接する最大の正多面体

　工夫次第ではいまある正四面体や正八面体よりももっと大きなものが作れるものと思われますが，可能でしょうか？

　クロフトの論文

　　Croft, HT: On maximal regular polyherda inscribed in a regular polyhedron, Proc. London Math Soc(3), 41, 279-296, 1980

には［１］に掲げた現行法に対して正八面体では約３倍，正１２面体では約１割大きくできることが書かれています．

　　　　　　　　現行法　　　　　　　クロフト

正四面体　　　　０．３３３　　　　　０．３３３

正八面体　　　　０．１６７　　　　　０．５６２５→可能

正１２面体　　　０．４２７　　　　　０．４６１　→可能

正２０面体　　　０．５１５　　　　　０．５１５

　ここでは，立方体に内接する最大の正八面体の作り方を記しますが，立方体の頂点からでる３本の辺を３：１に内分する３点をとります．その頂点の対蹠頂点からでる３本の辺を３：１に内分する３点をとり，この６点を選べば立方体に内接する最大の正八面体が得られます．

　　（３√２／４）^3√２／３＝９／１６＝0.5625

最小（０．１６７）であった正八面体が正２０面体の０．５１５を超え，最大（０．５６２５）になるのです．

　また，この正八面体の２面は立方体の切頂面になるのですが，切頂の深さは切頂八面体の場合と同じ３：１内分点です．ちなみに切頂八面体と立方体の体積比は０．５となります．

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　正１２面体についてのクロフトの結果は私にとって意外なものでした．論文の表に計算間違い？，誤植？があると思ったほどです．

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