【１】位数の法則

modpでのaの位数をeとする。

このとき、a^n=1(modp)ならば、ｎはeの倍数。とくにp-1はeの倍数

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mod7

2=2,2^2=4,2^3=1→2の位数は3

3=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5,3^6=1→3の位数は6

mod7での位数は7-1を割り切るというわけです。

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[定理]Fn=2^(2^n)+1が素数pを約数にもつならばp=1 (mod2^(n+1))である

これが正しいとすれば、F5の約数の素数は

　　p=2^6ｋ+1=64K+1

に限定され、ｐ＝64・10+1を発見することができる。i

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[証明]ｐをFnの約数とすると

2^(2^n)=-1 (modｐ)

2^(2^(n+1))=1 (modｐ)

modpにおける2の位数をeとすると、eは2^(n+1)の約数であるから、e=1,2,4,・・・,2^n,2^(n+1)

e=1ならば、2=1,2^2,・・・,2^(2^n)=1 (modｐ)=1(modq)となって矛盾。

e=2ならば、2^2=1(modp),・・・、2^(2^n)=1 (modｐ)=1(modq)となって矛盾。

e=4ならば、2^4=1(modq),・・・、2^(2^n)=1 (modｐ)=1(modq)となって矛盾。

よって、e=2^(n+1)

eはｐ-1の約数であるから、p=1 (mod2^(n+1))

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