【１】位数の法則

modpでのaの位数をeとする。

このとき、a^n=1(modp)ならば、ｎはeの倍数。とくにp-1はeの倍数

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［Ｑ］(２^(n-1)-１)／ｎが整数となるｎをすべて決定せよ

ではｎは3以上の素数はすべて含まれることになるので、

［Ｑ］(２^(n)-１)／ｎが整数となるｎをすべて決定せよ

を考えることはできるのだろうか？

n＝1のとき(２^1-１)／1＝１

ｎの素因数で最小のものをｐとする。

分子は奇数であるから、ｎも奇数。ｐ≧３

２^n＝１　　(modｐ）

ここで、ｐを法とする2の位数をeとする。

2^e＝１　　(modｐ）

eはｎの約数かつｐ-１の約数。しかし、eはｎの最小の素因数であるから、e=1

しかし、解は見つからない。

さらに2乗すると

4^e＝１　　(modｐ）

p=3と決定されるが、

n=3ｍ

ｍ＝1のとき(２^3-１)／3＝非整数

ｍ≧２の奇数

２^3m-１＝８^m-１は３ｍで割り切れる。

ｍの最小の素因数をｑとすると

８^m=1 (modq)

modqにおける８の位数をｆとすると

８^f=1 (modq)

位数の法則よりｆはｍの約数かつｑ−1の約数→ｆ＝１

８=1　　(modq)→ｑ＝３または７

ｑ＝７とすると８^m=1 (mod7)

→ｑ＝7→n=3m=21l

2^21=1 (mod21)を確かめたい。

2^10=1024=16 (mod21)

2^20=256＝4 (mod21)

2^21=8 (mod21）

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