なぜ１/７は長さ6の周期をもつのだろうか？

　　１０^k＝１　　(mod7)

となる最小のｋを探して、ｋ＝７−１であることを示すことになるが、ｐが大きいとき、k=1,2,3,・・・と順に探すのは大変である。

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2、5でない素数ｐに対して、

　　ｎ=Πｐi^ni

の１０進展開は、各ｐiに関する１０の位数の最小公倍数に等しい周期をもつ。

すなわち、ki=ordpi^ni(10)をもちいて、周期T=[k1,k2,・・・]

ｎが２、５を含む場合、１０進小数は非循環頭部をもつことになる。

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1/119=1/7・1/17の場合、T=[6,16]=48

1/2737=1/7・1/17・1/23の場合、T=[6,16,22]=528

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ordp(10)はｐ-1か、ｐ-1の約数である。

ｐ-1となるのが10がｐの原始根であるときで、10は

p=7,17,19,23,29,47,59,61,97などの原始根である。

p=11,13,・・・はordp(10)はｐ-1か、ｐ-1の約数である。

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10進分数について述べてきたことは他に基底に対しても当てはまる。たとえば、

2進法における1/3は周期T=ord3(2)=2をもつ。

2進法における1/5は周期T=ord5(2)=4をもつ。

素数9949は2を原始根にもつ、ord9949(2)=9948

1/9949は周期長9948＝2＾2・3・829をもつ0/1数列を生成する。

素数9851は2を原始根にもつ、ord9851(2)=9850

1/9851は周期長9950＝2・5＾2・197をもつ0/1数列を生成する。

したがって、1/99007599＝1/9949・1/9851の2進数展開は周期長9950＝[2＾2・3・829,2・5＾2・197]=48993900

の長い擬似ランダム2進数列を生成する。

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