シャープが、正二十面体は立方体から作るより、三角形面を天地にした直方体から作るほうが材料の無駄がないと言っていますが、そうでしょうか？　　（中川宏）

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直観的にいってこれは正しいと思います。

立方体から作る場合は、表面には正二十面体の辺しか残りませんが、直方体方作る場合は、表面に三角形面が付くからです。

以前、中川さんより正２０面体の点心図・辺心図・面心図をいただいたことがあるのですが、それがあればどれくらい無駄を減らせるか計算できます。

探し出せますか？　（佐藤郁郎）

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正２０面体の二面角はcosδ=(-√5)/3,sinδ=2/3で与えられる。

また１辺の長さ1のとき、その体積は5(3+√5)/12=5/6・φ^2

立方体の体積はφ^3＝２φ＋１＝√5+2

正２０面体の体積/立方体の体積=5/6・1/φ

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１辺の長さ√3のとき、投影面は正六角形となり、その対角線の長さは

φ^-1+3/2+(φ^-1+φ)/2＝(√5-1)/2+3/2+√5/2=√5+1=2φ

これに外接する長方形の面積は2√3・φ^4

直方体の高さはφ^2であるから直方体の体積は2√3φ^4

１辺の長さ1に換算すると直方体の体積は2/3・φ^4

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直方体の体積は立方体の2/3・φ＞１となった。・・・シャープの言明（私の直観も）は誤りか？

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投影図を添付します。

一辺１の正二十面体の体積は、５（３＋√５）/ 12=2.182・・ではありませんか？　　（中川宏）

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