ｎつ子素数は無数に存在すると予想されていますが，素数の星座予想と呼ばれています．

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【１】素数の星座予想

［１］四つ子素数（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６，ｐ＋８）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５で考えた結果，ｐは３０ｎ＋１１型素数でなければならないことがわかっている．

［２］六つ子素数（ｐ−１０，ｐ−６，ｐ−４，ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５，ｍｏｄ７で考えた結果，ｐは２１０ｎ＋１０７型素数でなければならないことがわかっている．

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【２】三つ子素数

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６）がともに素数となるとき，三つ子素数と定義すると

ｐ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋２＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝１　　（ｍｏｄ３）

ｐ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋２＝１　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝２　　（ｍｏｄ３）

→ｐは３ｎ＋２型素数でなければならない．

ｐ＝１（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝３　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝２　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝２（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝４　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝３　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝３（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝０　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝４　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝４（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝１　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝０　　（ｍｏｄ５）

→ｐは５ｎ＋１型素数あるいは５ｎ＋２型素数でなければならない．

［１］（２ｎ＋１，３ｎ＋２，５ｎ＋１）の場合，連立合同式

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ２）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ５）

を計算しよう．

ｘ＝ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3とおいて，最初の式に代入する．→ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＝ｘ1＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ1＝１がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋２ｘ2＋６ｘ3を２番目の式に代入する．→１＋２ｘ2＋６ｘ3＝１＋２ｘ2＝２　　（ｍｏｄ３）→２ｘ2＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ2＝２がこの合同式の解である．

→ｘ＝５＋６ｘ3を３番目の式に代入する．→５＋６ｘ3＝１　　（ｍｏｄ５）→６ｘ3＝−４　　（ｍｏｄ５）→ｘ3＝１がこの合同式の解である．

　ｘ＝１１となるので，中国剰余定理より連立合同式の解は

　　ｘ＝１１　　（ｍｏｄ３０）

である．

［２］（２ｎ＋１，３ｎ＋２，５ｎ＋２）の場合，連立合同式

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ２）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ５）

を計算しよう．

ｘ＝ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3とおいて，最初の式に代入する．→ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＝ｘ1＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ1＝１がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋２ｘ2＋６ｘ3を２番目の式に代入する．→１＋２ｘ2＋６ｘ3＝１＋２ｘ2＝２　　（ｍｏｄ３）→２ｘ2＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ2＝２がこの合同式の解である．

→ｘ＝５＋６ｘ3を３番目の式に代入する．→５＋６ｘ3＝２　　（ｍｏｄ５）→６ｘ3＝−３　　（ｍｏｄ５）→ｘ3＝２がこの合同式の解である．

　ｘ＝１７となるので，中国剰余定理より連立合同式の解は

　　ｘ＝１７　　（ｍｏｄ３０）

である．

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【３】まとめ

　三つ子素数（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５で考えた結果，ｐは３０ｎ＋１１型素数あるいは３０ｎ＋１７型素数でなければならないことがわかった．

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