【３】ヤコビのテータ関数からの補足

　ヤコビの楕円関数sn,cn,dnを三角関数に対応する２重周期関数とするならば，ヤコビのテータ関数は指数関数に対応する擬２重周期関数です．

　θ3（ｚ）の定義は，三角関数を用いると

　　θ3（ｚ）＝Σｑ^(n^2)ｙ^(2n)

　　　　　　 ＝１＋２Σｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）

とも表されます．ヤコビが定義したテータ関数はθ3を含めて４つあります．

　　θ4（ｚ）＝Σ(-1)^nｑ^(n^2)ｙ^(2n)

　　　　 ＝１＋２Σ(-1)^nｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）

　　θ2（ｚ）＝Σｑ^((n+1/2)^2)ｙ^(2n+1)

　　　　 ＝２Σｑ^((n+1/2)^2)ｃｏｓ（２ｎ＋１）πｚ

　　θ1（ｚ）＝1/iΣ(-1)^nｑ^((n+1/2)^2)ｙ^(2n+1)

　　　　 ＝２Σ(-1)^nｑ^((n+1/2)^2)ｓｉｎ（２ｎ＋１）πｚ

　ｑの指数は整数Ｚや半整数Ｚ＋１／２の２乗ですが，このことから整数あるいは半整数のつくる１次元格子上の２次形式と理解することができます．そして，整数・半整数，交代・非交代の組合せから４つのテータ関数が定義されるというわけです．

　簡単のため，ｚ＝０（ｙ＝１）とおいたものをθk（τ）とかくと，

　　θ3（τ）＝Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^(2m-1)）^2

　　θ4（τ）＝Π（１−ｑ^2m）（１−ｑ^(2m-1)）^2

　　θ2（τ）＝２ｑ^(1/4)Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^2m）^2

　　θ1（τ）＝０

　　θ1'（τ）＝ｄθ1／ｄｚ｜(z=0)＝２πｑ^(1/4)Π（１−ｑ^2m）^3

となります．

　また，これらより

　　πθ2（τ）θ3（τ）θ4（τ）＝θ1'（τ）

　　θ3^4（τ）＝θ2^4（τ）＋θ4^4（τ）

などの関係式を導き出すことができます．

　ここからはデデキントのイータ関数との関係で

　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉτ）

としますが，周期性

　　θ3（τ＋１）＝θ4（τ）

　　θ4（τ＋１）＝θ3（τ）

　　θ2（τ＋１）＝θ2（τ）ｅｘｐ（πｉ４）

双対性については，ポアソンの和公式を用いて求めます．

　　θ3（−１／τ）＝θ3（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　　θ4（−１／τ）＝θ2（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　　θ2（−１／τ）＝θ4（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　また，テータ関数はヤコビの３重積公式

　　Σｑ^(m^2)ｙ^m＝Π（１−ｑ^2n）（１＋ｙｑ^(2n-1)）（１−ｙｑ^(2n-1)）

にも結びついています．

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