【２】ガウス和

定数Ｂ1を決定するために、

Ｓ(p)=Σ（bk＋１）exp(-2πik/p)

を考える。

ｋがｐを法とする平方剰余ならば（bk＋１）＝2

ｋがｐを法とする平方非剰余ならば（bk＋１）＝０

したがって、ｋ＝ｎ^2 (modp)である項だけがＳ(p)に寄与する。

Ｓ(p)=Σ（bk＋１）exp(-2πik/p)=Σexp(-2πin^2/p)

p=1　　(mod4）のとき→Ｓ^2(p)=|Ｓ(p)|^2=p

p=3　　(mod4）のとき→Ｓ^2(p)=-|Ｓ(p)|^2=-p

Ｓ(pq)=(-1)^(p-1)(q-1)/4・Ｓ(p)Ｓ(q)

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Ｓ(p)、より一般には任意のｎに対するＳ(n)はガウス和と呼ばれていて、mod4のとき、

n=0→Ｓ(n)=(1+i)√n

n=1→Ｓ(n)=√n

n=2→Ｓ(n)=0

n=3→Ｓ(n)=-√n

が示されている。

その結果、bm=(m/p)の離散フーリエ変換は

p=1　　(mod4）のとき→Ｂm=bm√ｐ

p=3　　(mod4）のとき→Ｂm=-bm√ｐ

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Ｓ(ｎ)=Σexp(-2πik^2/n)

はｎが素数なら周期ｎでくりかえす各項によって定義される数列は著しい相関性をもっている。

すべての移動に対してその周期的相関は０である。したがって、周期数列のフーリエスペクトルは、その大きさがすべて等しい成分をもっている。

この数列が波の振幅を表しているなら、ある距離を置くと非常に効果的に散乱される。弱めないで音を拡散させることができるのである。

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【３】不完全ガウス和

Ｓ(ｎ、ｋ)=Σexp(-2πik^2/n)

n=2mod4のとき→コルニュのらせんを出入りした後、原点に戻る

n=3mod4のとき→コルニュのらせんを出入りした後、原点に戻らず、√ｎで立ち止まる

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