ｘ^2=b (modp)

を考える。

p=7,b=2に対してFp={1,2,3,4,5,6}として、

{1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2}={1,4,2,2,4,1} (mod7)

であるから、その解はx=3またはx=4である。

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p=7,b=1に対しては解は存在する。

p=7,b=2に対しては解は存在する。

p=7,b=4に対しては解は存在する。

一方、

p=7,b=3に対しては解は存在しない。

p=7,b=5に対しては解は存在しない。

p=7,b=6に対しては解は存在しない。

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ｐ=7として、ルジャンドル数列

ｂn=(n/p)、n=0〜

の面白い性質を見てみよう。

[1]{bn}=0,1,1,-1,1-1,-1:0,・・・

のように、周期7で繰り返す。平均は0である。

[2]平方剰余で間引くと、同じものが再生される

{bna}=(an/p)=(a/p)(n/p)

(a/p)=1→{bna}=(an/p)=(n/p)={bn}

(a/p)=-1→{bna}=(an/p)=-(n/p)={-bn}

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p=7,b=6に対しては解は存在しない。

より一般に

p-1がｐの平方剰余のとき、→{bna}=(an/p)=(n/p)={bn}

p-1がｐの平方非剰余のとき、→{bna}=(an/p)=-(n/p)={-bn}

たとえば、

p=3　　(mod4）のとき、p-1は平方非剰余

p=1　　(mod4）のとき、p-1は平方剰余

{bn}=(n/p)=n^{(p-1)/2} (modp)

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