ｘ^2=b (modp)

を考える。

p=7,b=2に対してFp={1,2,3,4,5,6}として、

{1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2}={1,4,2,2,4,1} (mod7)

であるから、その解はx=3またはx=4である。

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p=7,b=1に対しては解は存在する。

p=7,b=2に対しては解は存在する。

p=7,b=4に対しては解は存在する。

一方、

p=7,b=3に対しては解は存在しない。

p=7,b=5に対しては解は存在しない。

p=7,b=6に対しては解は存在しない。

前者のｂをｐを法とする平方剰余、後者のｂを平方非剰余という。

０を数えなければ、(ｐ-1)/2個の平方剰余Ｒと(ｐ-1)/2個の平方非剰余Ｎが存在し、

Ｒ・Ｒ＝Ｒ、Ｒ・Ｎ＝Ｎ、Ｎ・Ｒ＝Ｎ、Ｎ・Ｎ＝Ｒ

となる。すなわち、Ｒを＋、Ｎを-に対応させることができる。

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Ｎ・Ｎ＝Ｒ

5・6＝30＝2　　(mod7)

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ｐ=7として、ルジャンドル数列

ｂn=(n/p)、n=0〜

の面白い性質を見てみよう。

[1]{bn}=0,1,1,-1,1-1,-1:0,・・・

のように、周期7で繰り返す。平均は0である。

[2]平方剰余で間引くと、同じものが再生される

{bna}=(an/p)=(a/p)(n/p)

(a/p)=1→{bna}=(an/p)=(n/p)={bn}

(a/p)=-1→{bna}=(an/p)=-(n/p)={-bn}

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