ｐ＝４ｍ＋１のとき，

　　（ｐ−１）！＝｛（ｐ−１）／２｝！^2＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

　たとえば，ｐ＝２９のとき

　　２８！＝（１４！）^2＝−１　　（ｍｏｄ　２９）

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　ウィルソンの定理を用いると

　　ｘ^2＋１＝０（ｍｏｄｐ），ｐ＝４ｍ＋１

の解はｘ＝±１・２・・・２ｍ（ｍｏｄｐ）となることがわかる．

（Ａ）

　　１・２・・・２ｍ（ｐ−２ｍ）・・・（ｐ−２）（ｐ−１）＋１＝１

　　（１・２・・・２ｍ）^2＋１＝０（ｍｏｄｐ）

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　これらの間を補間してみたい

　　（−１／ｐ）＝１と仮定する．すなわち，−１は平方剰余であると仮定する．

　平方剰余×平方剰余＝平方剰余であるから，１と（ｐ−１）／２の間の平方剰余に−１をかけると（ｐ＋１）／２とｐ−１の間の平方剰余移る．（ｐ＋１）／２とｐ−１の間の平方剰余に−１をかけると１と（ｐ−１）／２の間の平方剰余移る．

　このことは平方剰余鋸数が偶数であること＝（ｐ−１）／２が偶数であること＝（ｐ＝４ｍ＋１）であることを示している．

　逆に，ｐ＝４ｍ＋１であると仮定する．ウィルソンの定理より

　　（ｐ−１）！＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

　ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，ｐ−３＝−３，・・・より

　　１・２・・・２ｍ（ｐ−２ｍ）・・・（ｐ−２）（ｐ−１）

を再構成して書き直してみると

＝（１・２・・・２ｍ）^2＝０（ｍｏｄｐ）

すなわち，

　ｐ＝４ｍ＋１のとき，

　　（ｐ−１）！＝｛（ｐ−１）／２｝！^2＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

を示している．

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