原点を中心とする半径√n上の格子点の数をR(n)とする。

R(0)=1,R(1)=4,R(2)=4,R(3)=0,R(4)=4,・・・

原点を中心とする半径√n内の格子点の数をT(n)とする。

T(n)=R(0)+R(1)+・・・+R(n)

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定理：整数ｎがα=1(mod4)である約数をA個、β=-1(mod4)である約数をB個もつとする。

このとき、R(n)=4(A-B)

n=2(1,2),A=1,B=0→R(n)=4(A-B)=4

n=5(1,5),A=2,B=0→R(n)=4(A-B)=8

n=7(1,7),A=1,B=1→R(n)=4(A-B)=0

n=65(1,5,13,65),A=4,B=0→R(n)=4(A-B)=16

n=200(1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,200),A=3,B=0→R(n)=4(A-B)=12

n=1225=5^2・7^2(1,5,25,7,35,175,49,245,1225),A=6,B=3→R(n)=4(A-B)=12

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ヤコビは以下の恒等式を用いて、この定理を証明した。

(1+2x+2x^4+2x^9+2x^16+・・・)^2

=1+4(x/(1-x)-x^3/(1-x^3)+x^5/(1-x^5)-・・・)

なお、

x/(1-x)=x+x^2+x^3+・・・

x^2/(1-x^2)=x^2+x^4+x^6+・・・

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(1+2x+2x^4+2x^9+2x^16+・・・)^2

=1+4x^2+4x^8+4x+4x^4+8x^5+・・・

=1+4x+4x^2+4x^4+8x^5+・・・

x/(1-x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+

-x^3/(1-x^3)=-x^3-x^6-x^9-

x^5/(1-x^5)=x^5+x^10+x^15+

x+x^2+x^4+2x^5

1+4(x/(1-x)-x^3/(1-x^3)+x^5/(1-x^5)-・・・)

=1+4x+4x^2+4x^4+8x^5+・・・一致

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