レムニスケートの倍角公式

　　２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）＝１

と置くことによって

　　ｚ^2＝√２−１

が得られる．実際に計算してみると，レムニスケート弧長の２等分点は

　　ｒ＝sl(u/2)=(-1+√2)^1/2=0.643594

　３等分点は

　　ｒ＝sl(u/3)=1/2(1-(√2)(3)^1/4+√3)=0.435421

で示される．

　レムニスケート曲線の幾何学的５等分は

　　ｃ＝２＋√５＋（５＋２√５）^1/2

　　ｒ＝｛ｃ−（ｃ^2−１）^1/2｝^1/2

で与えられる．

　（その３９）の３〜５等分点についても確かめておきたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］３等分点

　　ｒ＝sl(u/3)=1/2(1-(√2)(3)^1/4+√3)=0.435421

　　（２√３−３）^1/4＝２ｒ（１−ｒ^4）^1/2／（１＋ｒ^4）＝０．８２５３７９

［２］４等分点

　　ｒ＝（√２−１）^1/2

　　１＝２ｒ（１−ｒ^4）^1/2／（１＋ｒ^4）

　　ｒ＝sl(u/3)=1/2(1-(√2)(3)^1/4+√3)=0.435421

［３］５等分点

　５等分点については，

　　ｓｌ（２ω／５）＝２ｓｌ（ω／５）（１−ｓｌ^4（ω／５））^1/2／（１＋ｓｌ^4（ω／５））

であって，

　　ｓｌ（ω／５）＝０．２６２０８２

より，一致する．

　なお，反転公式：写像

　　ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2

によりＯとＰは移り合い，弧ＯＰは自分自身に移り弧長ＯＰは保存される．Ｑを弧ＯＰ上の点とするとき，弧ＯＱは等しい長さの弧ＱＰに移される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝