たとえば，３倍角の公式

　　ｓｌ（３ｕ）＝ｓｌ（ｕ）（３−６ｓｌ^4（ｕ）−ｓｌ^8（ｕ））／（１＋６ｓｌ^4（ｕ）−３ｓｌ^8（ｕ））

　ｕ＝２ω／３）とおくと，ｓｌ（３ｕ）＝０であるから，

　　３−６ｓｌ^4（ｕ）−ｓｌ^8（ｕ）＝０

を満たす．この方程式の実根は

　　ｓｌ（ｕ）＝（２√３−３）^1/4

である．

　一般に

［１］ｎが奇数のとき

　　ｓｌ（ｎｕ）＝ｓｌ（ｕ）Ｐn（ｓｌ^4（ｕ））／Ｑn（ｓｌ^4（ｕ））

　　Ｑn+1（ｘ）＝Ｑn-1（ｘ）｛Ｑn（ｘ）^2＋ｘＰn（ｘ）^2｝

　　Ｐn+1（ｘ）＝２Ｐn（ｘ）Ｑn（ｘ）Ｑn-1（ｘ）−Ｐn-1（ｘ）｛Ｑn（ｘ）^2＋ｘＰn（ｘ）^2｝

［２］ｎが偶数のとき

　　ｓｌ（ｎｕ）＝ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｕ）Ｐn（ｓｌ^4（ｕ））／Ｑn（ｓｌ^4（ｕ））

　　Ｑn+1（ｘ）＝Ｑn-1（ｘ）｛Ｑn（ｘ）^2＋ｘ（１−ｘ）Ｐn（ｘ）^2｝

　　Ｐn+1（ｘ）＝２（１−ｘ）Ｐn（ｘ）Ｑn（ｘ）Ｑn-1（ｘ）−Ｐn-1（ｘ）｛Ｑn（ｘ）^2＋ｘ（１−ｘ）Ｐn（ｘ）^2｝

　この方法は，連分数の第ｎ近似分数

　　ｗn＝ｐn／ｑn

を計算するう漸化式の作り方とよく似た方法であるが，これより，

　　Ｐ4（ｘ）＝４（１＋ｘ）（１−６ｘ＋ｘ^2）

　　Ｐ5（ｘ）＝（５−２ｘ＋ｘ^2）（１−１２ｘ−２６ｘ^2＋５２ｘ^3＋ｘ^4）

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【１】加法定理

　任意の実数ｕ，ｖに対して

　　ｓｌ（ｕ＋ｖ）＝｛ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｖ）＋ｓｌ（ｖ）ｓｌ’（ｕ）｝／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖ）｝

が成り立つ．

　　ｓｌ（ｕ−ｖ）＝｛ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｖ）−ｓｌ（ｖ）ｓｌ’（ｕ）｝／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖ）｝

　　ｓｌ（ω／２）＝１，ｓｌ’（ω／２）＝０

であるから

［１］ｓｌ（ｕ＋ｖ）＋ｓｌ（ｕ−ｖ）＝２ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｖ）／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖ）｝

［２］ｓｌ（２ｕ）＝２ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｕ）／｛１＋ｓｌ^4（ｕ）｝

［３］ｓｌ（ω／２−ｕ）＝ｓｌ’（ｕ）／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）｝

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